Da oggi Perforare.it propone in esclusiva ai suoi lettori una rubrica speciale che nasce dall’idea e dal contributo straordinario del professor Roberto Vacca.
Come molti di voi già sapranno, l’ingegner Roberto Vacca è una personalità di rilevanza assoluta nel mondo del sapere, inteso nella sua più ampia accezione. Matematico e grande divulgatore scientifico, consulente in previsione tecnologica e nell’ingegneria dei sistemi (nell’ambito dell’energia, dei trasporti e delle comunicazioni), autore di numerose pubblicazioni scientifiche, oltre che di libri di successo che hanno aperto al grande pubblico l’accesso alla comprensione della tecnologia e dei modelli matematici. Modelli che ci aiutano a capire il rapporto tra la scienza dei numeri e le questioni epocali che riguardano energie alternative, cambiamento climatico, fisica terrestre.
Quello che segue è il primo contributo che il professor Roberto Vacca ci offre in relazione all’andamento della pandemia da Coronavirus, rivelando meccanismi importanti per una lettura previsionale attendibile (con la fine dei decessi da Covid-19 indicata dopo la fine del mese di maggio). Crediamo con forza che una voce autorevole su questioni scientifiche, sociali ed economiche fondamentali possa ampliare in modo straordinario lo spazio di informazione e dibattito che ci proponiamo di arricchire con il nostro portale. Buona lettura.
Covid 19, l’andamento previsto con le equazioni di Volterra
di Roberto Vacca (10 marzo 2021)
Descrivere l’andamento dell’epidemia di COVID riportando il numero di contagi al giorno è significativo se sono accurate le diagnosi relative. È meno opinabile considerare, come farò in queste pagine, il numero di decessi. In tal modo si tiene conto implicito anche della letalità del virus. L’andamento dell’epidemia dipende da molti fattori, che variano nel tempo. Essi sono:
- l’evoluzione genetica del virus;
- la distribuzione del patrimonio genetico nella popolazione umana (genomi diversi sono vulnerabili in misura difforme);
- comportamento (mobilità, precauzioni prese, assembramenti) della popolazione;
- effetti sul virus dell’ambiente (temperatura, umidità e così via);
- effetti del virus diversi su maschi e femmine.
Oltre ai fattori citati, e ad altri incogniti, le stesse cause delle epidemie sono ardue da valutare e da monitorare. Però molti tipi di processi di sviluppo o declino si possono descrivere (producendo proiezioni plausibili e spesso molto accurate) con le equazioni di Volterra. Esse descrivono anche l’evoluzione di epidemie. Nel caso della diffusione di una malattia infettiva, il numero di nuovi malati per ogni intervallo di tempo è proporzionale al prodotto del numero di malati per il numero di persone sane non immuni.
Nella fase iniziale il numero di malati è piccolo e, quindi, i contagi sono lenti. Il numero totale di malati cresce. Se nella popolazione è piccolo il numero di coloro che sono immuni per ragione genetiche, la malattia si diffonde a velocità crescente, che si comincia a ridurre quando, in numero adeguato, alcuni malati decedono e altri guariscono e non sono più contagiosi. Il numero totale dei malati varia quindi secondo una curva logistica a S. Dai valori minimi iniziali, accelera sempre più fino a sembrare esponenziale. Quindi rallenta gradatamente quando gli infettanti sono sempre di meno e, infine, raggiunge un valore massimo costante A, detto asintoto: non si ammala più nessuno. All’inizio del secolo scorso il fisico Vito Volterra trovò equazioni differenziali che definiscono queste curve. Detto x il numero dei malati, tali equazioni esprimono l’uguaglianza della derivata di x rispetto al tempo (pendenza della curva malati in funzione del tempo) al prodotto x (A – x) moltiplicato per una costante K. A e K non sono noti.
dx/dt = K x (A-x), la cui soluzione è
x = A/(1 + e – (Bt +C)), dove anche le costanti B e C non sono note.
Il fisico Cesare Marchetti (cesaremarchetti.altervista.org) ha individuato metodi brillanti per individuare i parametri delle equazioni. Io ne ho trovato uno semplice e ho definito una procedura iterativa, con il software relativo, che permette di calcolare i parametri incogniti in funzione delle coordinate: numero di malati al tempo t, se è disponibile una serie storica dell’epidemia che sia abbastanza lunga.
Le equazioni citate valgono anche per analizzare il numero di decessi, con x che rappresenta il numero di decessi giornalieri ed A il numero totale di decessi alla fine dell’epidemia. Le ho applicate con successo a: peste di Londra del 1665, mortalità per AIDS dal 1982 in Italia e vari tipi di influenza – come ho raccontato nel libro “La misura del virus” (coautore M. Malvaldi, Mondadori 2020).
Nello stesso libro nella prima metà del 2020, avevo analizzato i decessi dovuti a Covid-19 in Italia. Previdi correttamente che sarebbero finiti entro Giugno, ma sottostimai l’asintoto in 32.288 – mentre il numero totale dei morti nella prima ondata fu di circa 36.000.
La seconda ondata è iniziata a ottobre e ha raggiunto il massimo dei decessi giornalieri (887) il 10/12/2020: a tale data calcolavo l’asintoto (totale dei decessi nella seconda ondata) a 31.140. Però, nelle settimane precedenti, la procedura ne aveva indicato valori molto più bassi e crescenti gradualmente, mentre nei giorni precedenti si notava una discontinuità notevole nell’andamento della curva. Applicavo, allora la procedura con equazioni di Volterra ai dati dal 16/12/2020 e ottenevo un’equazione che, di nuovo, di giorno in giorno si modificava leggermente e indicava valori dell’asintoto crescenti molto lentamente. Il diagramma seguente mostra la curva calcolata in base all’equazione per i dati dal 25/12/2020 al 6/3/2021. A tale data l’asintoto calcolato risultava di 70.885 unità. Si nota come i valori cumulativi giornalieri [crocette + ] mostrino scostamenti minimi rispetto a quelli definiti dalla curva.
Tuttavia le morti da Covid-19 crescono e mostrano uno scarto apprezzabile della curva dai punti dell’ultimo mese. Forse si dovrà ricalcolare l’equazione della curva per tenere conto della nuova tendenza.
In relazione all’evoluzione più recente, l’asintoto calcolato in base alla serie storica 16/12/2020-12/3/2021(con 380 decessi del 12/3 e decessi cumulativi 1/10/2020 – 12/3/2021 = 65.103) cresce dai 72.220 dell’11/03/2021 ai 72.660 di ieri, 12/03/2021, cioè del 6 per mille. Il 26/12/2020 si nota una discontinuità. Applicando la procedura con equazioni di Volterra ai dati dal 16/12/2020 al 12/3/2021, ottengo un’equazione di Volterra con costante di tempo di 149 giorni, cioè un asintoto (morti totali della Seconda ondata) di 72.660, con un arresto dei decessi presumibile oltre la fine di maggio.
Con un errore standard di 0,00155, l’equazione che otteniamo è la seguente:
x = 72.660/1 + e-(2,94 t – 5,37)), meno vicina a quella di ieri.
Da quanto appare nel grafico sopra, è ragionevole stimare il probabile numero totale (2020-2021) dei morti da Covid in circa 110.000 od oltre. Questo numero potrà essere più alto se appariranno varianti del virus più letali e infettive o se il pubblico non osserverà le norme igieniche (lavaggio mani con acqua calda) e anti prossimità. Potrà essere più basso, se le vaccinazioni si diffonderanno e i comportamenti saranno prudenti. Dovremo continuare a registrare i valori delle variabili analizzate e misurare gli scostamenti fra di essi e i valori previsti dalla procedura. Un buon accordo fra proiezioni e dati rilevati conferma la validità dell’equazione prodotta. Se invece i valori successivi divergono dalle previsioni, ciò può indicare che si sono presentati nuovi fattori a influenzare la situazione o che fattori noti hanno subito variazioni inaspettate. In tali casi è consigliabile analizzare di nuovo il processo e formulare nuove previsioni.
Le equazioni di Volterra descrivono l’evoluzione, oltre che delle epidemie, anche di popolazioni umane e animali, di artifatti umani e mercati relativi, di variabili come: consumi elettrici, mobilità (in passeggeri, km e così via). Tali equazioni possono anche fornire modelli delle variazioni di popolazioni di animali predatori e di quelle delle loro prede. Modelli analoghi possono descrivere l’andamento delle quote di mercato detenute da aziende concorrenti in una certa nazione o regione.
Bibliografia
[1] Volterra, V. – Principes de biologie mathematique, Acta Biotheoretica, 1937
[2] Franchina, V., Vacca, R. – Logistic Curves Construction, Fit and Unicity – Int’national Conference on Diffusion of Technologies and Social Behavior, Laxenburg, Austria, 14-16 June 1989
